Progressão Aritmética De Segunda Ordem

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* $(1, 4, 9, 16, 25, \dots)$
* $(1, 3, 9, 27, 81, \dots)$
* $(-1, 2, 5, 8, 11, \dots)$

O termo geral de uma progressão aritmética de segunda ordem é dado por

“`
a_n = a_1 + d_1 n + d_2 n^2
“`

onde $a_1$ é o primeiro termo, $d_1$ é a diferença entre os termos consecutivos da progressão de primeira ordem e $d_2$ é a diferença entre os termos consecutivos da progressão de segunda ordem.

A soma dos $n$ primeiros termos de uma progressão aritmética de segunda ordem é dada por

“`
S_n = \dfrac{(a_1 + a_n)(2n + 1)}{2}
“`

* A soma dos termos de uma progressão aritmética de segunda ordem é sempre um número par, pois $(2n + 1)$ é sempre um número par.
* A soma dos termos de uma progressão aritmética de segunda ordem é sempre maior que o primeiro termo e menor que a soma do primeiro e último termo.
* A diferença entre os termos consecutivos é sempre a mesma, ou seja, $d_1 = d_2$.

O que é uma progressão aritmética de segunda ordem?

Uma progressão aritmética de segunda ordem é uma sequência de números reais $(a_n)$ tal que a diferença entre dois termos consecutivos é uma progressão aritmética.

Como calcular o termo geral de uma progressão aritmética de segunda ordem?

O termo geral de uma progressão aritmética de segunda ordem é dado por

“`
a_n = a_1 + d_1 n + d_2 n^2
“`

onde $a_1$ é o primeiro termo, $d_1$ é a diferença entre os termos consecutivos da progressão de primeira ordem e $d_2$ é a diferença entre os termos consecutivos da progressão de segunda ordem.

Como calcular a soma dos termos de uma progressão aritmética de segunda ordem?

A soma dos $n$ primeiros termos de uma progressão aritmética de segunda ordem é dada por

“`
S_n = \dfrac{(a_1 + a_n)(2n + 1)}{2}
“`

Quais são as propriedades de uma progressão aritmética de segunda ordem?

As propriedades de uma progressão aritmética de segunda ordem são as seguintes:

* A soma dos termos de uma progressão aritmética de segunda ordem é sempre um número par.
* A soma dos termos de uma progressão aritmética de segunda ordem é sempre maior que o primeiro termo e menor que a soma do primeiro e último termo.
* A diferença entre os termos consecutivos é sempre a mesma, ou seja, $d_1 = d_2$.

Considere a progressão aritmética de segunda ordem $(1, 4, 9, 16, 25, \dots)$.

* O primeiro termo é $a_1 = 1$.
* A diferença entre os termos consecutivos da progressão de primeira ordem é $d_1 = 3$.
* A diferença entre os termos consecutivos da progressão de segunda ordem é $d_2 = 4$.

Portanto, o termo geral da progressão é dado por

“`
a_n = 1 + 3n + 4n^2
“`

A soma dos primeiros 10 termos da progressão é dada por

“`
S_{10} = \dfrac{(1 + 25)(2 \cdot 10 + 1)}{2} = 155
“`

Como $d_1 = d_2$, então a progressão é também uma progressão aritmética de primeira ordem.

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