Teorema Da Probabilidade Total

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O Teorema da Probabilidade Total é um teorema fundamental da teoria da probabilidade que relaciona probabilidades marginais e probabilidades condicionais. Ele expressa a probabilidade total de um resultado que pode ser realizado através de vários eventos distintos.

Seja $E$ um evento em um espaço de probabilidade $(\Omega, \mathcal{F}, P)$. Se $E_1, E_2, …, E_n$ forem eventos mutuamente exclusivos e complementares de $E$, então o teorema da probabilidade total afirma que:

“`
P(E) = \sum_{i=1}^n P(E|E_i)P(E_i)
“`

O teorema da probabilidade total pode ser interpretado como dizendo que a probabilidade total de um evento $E$ pode ser calculada somando as probabilidades condicionais do evento $E$, dado cada um dos eventos complementares $E_1, E_2, …, E_n$.

Suponha que uma moeda seja lançada três vezes. Vamos considerar os eventos seguintes:

* $E$: pelo menos duas caras.
* $E_1$: três caras.
* $E_2$: duas caras e uma coroa.
* $E_3$: uma cara e duas coroas.

Os eventos $E_1, E_2$ e $E_3$ são mutuamente exclusivos e complementares de $E$. Portanto, podemos usar o teorema da probabilidade total para calcular a probabilidade de $E$:

“`
P(E) = P(E|E_1)P(E_1) + P(E|E_2)P(E_2) + P(E|E_3)P(E_3)
“`

“`
= (1/8)(1/8) + (3/8)(3/8) + (3/8)(3/8)
“`

“`
= 27/64
“`

O teorema da probabilidade total tem uma ampla gama de aplicações na teoria da probabilidade, estatística e outras áreas da matemática. Por exemplo, ele pode ser usado para calcular a probabilidade de um evento dado a informação sobre outros eventos relacionados, para determinar a probabilidade de um evento ocorrer em um determinado intervalo de tempo, e para estimar parâmetros populacionais.

A fórmula do Teorema da Probabilidade Total é:

“`
P(E) = \sum_{i=1}^n P(E|E_i)P(E_i)
“`

onde $E$ é um evento em um espaço de probabilidade $(\Omega, \mathcal{F}, P)$, $E_1, E_2, …, E_n$ são eventos mutuamente exclusivos e complementares de $E$, e $P(E_i)$ é a probabilidade de $E_i$ ocorrer.

Significa que $E_1, E_2, …, E_n$ não podem ocorrer ao mesmo tempo e que sua soma é igual a $E$.

O Teorema da Probabilidade Total pode ser interpretado como dizendo que a probabilidade total de um evento $E$ pode ser calculada somando as probabilidades condicionais do evento $E$, dado cada um dos eventos complementares $E_1, E_2, …, E_n$.

O Teorema da Probabilidade Total pode ser aplicado em uma ampla gama de situações, incluindo:

* Calcular a probabilidade de um evento dado a informação sobre outros eventos relacionados.
* Determinar a probabilidade de um evento ocorrer em um determinado intervalo de tempo.
* Estimar parâmetros populacionais.

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